有些橋梁設(shè)計(jì)師或年輕橋梁工程師在使用有限元軟件的初期，容易有一個(gè)潛意識(shí)里的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，即認(rèn)為有限元是一個(gè)精確的分析方法。

有限元是一個(gè)強(qiáng)有力的、有較高精度的數(shù)值方法，但并不是一個(gè)精確的方法。簡(jiǎn)單回顧一下有限元法理論，就能容易地知道這一點(diǎn)。下面以位移法有限元為例來說明。

有限元法是把連續(xù)的（具有無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的）求解域劃分為含有有限個(gè)子域（單元）的離散網(wǎng)格形式（見圖2）。這些單元之間通過有限數(shù)量的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)相互連接，用這些離散的節(jié)點(diǎn)處的位移表征實(shí)際結(jié)構(gòu)中連續(xù)的位移場(chǎng)。在這些節(jié)點(diǎn)上，位移是連續(xù)的，但位移的各階導(dǎo)數(shù)并非都是連續(xù)的，取決于節(jié)點(diǎn)位移未知數(shù)中是否包含這些導(dǎo)數(shù)。這是有限元法的第一個(gè)近似之處。在單元內(nèi)部，由于不知道真實(shí)的位移場(chǎng)函數(shù)，所以有限元法采用近似的數(shù)學(xué)表達(dá)式（如多項(xiàng)式）通過節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行插值來描述，該表達(dá)式稱為插值函數(shù)。這是第二個(gè)近似之處。在節(jié)點(diǎn)之間的連續(xù)邊界上，位移及其各階導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)則取決于單元位移模式和插值函數(shù)的形式，一般最多使一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這是第三個(gè)近似之處。

圖2  有限元網(wǎng)格

在位移法有限元中，采用能量原理建立以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)的平衡方程組，所以求解有限元問題歸結(jié)為求解一個(gè)大型線性方程組的問題（即使對(duì)于非線性問題，在進(jìn)行每一迭代步或者增量步求解時(shí)，也是一個(gè)線性的方程組）。該線性方程組一般為式（1）所示的形式。其中[K]為方程組的系數(shù)矩陣，稱為總剛度矩陣，{δ}為方程組的基本未知數(shù)，即結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列向量，{P}為荷載列向量。方程組可能含有成千上萬乃至幾百萬個(gè)未知數(shù)，那么由于計(jì)算機(jī)中數(shù)字的字長(zhǎng)（通俗地說就是有效數(shù)字位數(shù)）是有限的，因此在求解過程的大量計(jì)算中，會(huì)由于舍入誤差而產(chǎn)生計(jì)算誤差，這是第四個(gè)近似之處。這些只是有限元法本身的近似之處，還不包括力學(xué)理論、模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)差異、計(jì)算參數(shù)與實(shí)際結(jié)構(gòu)差異等引起的誤差。

上面的描述雖然不太嚴(yán)謹(jǐn)，但已經(jīng)能夠清楚地看出，有限元法是一種近似的數(shù)值方法，是有誤差的方法。