簡(jiǎn)介： 在高速公路立交平面線型中，現(xiàn)越來(lái)越多采用卵形曲線這一線型形式，而卵形曲線坐標(biāo)的計(jì)算在現(xiàn)有相關(guān)書(shū)籍中卻又很少提到，這就為施工中的坐標(biāo)計(jì)算及放樣增加了較大難度，為解決此難道，我在實(shí)踐中通過(guò)對(duì)緩和曲線坐標(biāo)的計(jì)算加以分析并結(jié)合理論知識(shí)，總結(jié)出了卵形曲線坐標(biāo)的計(jì)算方法和技巧。
關(guān)鍵字：卵形曲線 坐標(biāo) 計(jì)算
一、概念
卵形曲線：是指在兩半徑不等的圓曲線間插入一段緩和曲線。也就是說(shuō)：卵形曲線本身是緩和曲線的一段，只是在插入時(shí)去掉了靠近半徑無(wú)窮大方向的一段，而非是一條完整的緩和曲線。
二、卵形曲線坐標(biāo)計(jì)算原理
根據(jù)已知的設(shè)計(jì)參數(shù)，求出包括卵形
曲線的完整緩和曲線的相關(guān)參數(shù)和曲線要素，再按緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算的方法來(lái)計(jì)算卵形曲線上任意點(diǎn)上的坐標(biāo)。
三、坐標(biāo)計(jì)算
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西寧）立交區(qū)A匝道一卵形曲線為例，見(jiàn)圖一：
（圖一）
已知相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：
主點(diǎn) 樁號(hào) | 坐 標(biāo) （m） | 切線方位角 （θ） | |
X | Y | ° ’ ” | |
ZH AK0+090 | 9987.403 | 10059.378 | 92 17 26.2 |
HY1 AK0+160 | 9968.981 | 10125.341 | 132 23 51.6 |
YH1 AK0+223.715 | 9910.603 | 10136.791 | 205 24 33.6 |
HY2 AK0+271.881 | 9880.438 | 10100.904 | 251 24 18.5 |
YH2 AK0+384.032 | 9922.316 | 10007.909 | 337 04 54.2 |
HZ AK0+444.032 | 9981.363 | 10000.000 | 0 00 00 |
1、緩和曲線（卵形曲線）參數(shù)計(jì)算
A1=
=59.161
卵形曲線參數(shù)：
A2=（HY2-YH1）×R1（小半徑）
×R2（大半徑）÷（R2-R1）
=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）
= 7224.900
A2=
=84.999
A3=
=67.082
2．卵形曲線所在緩和曲線要素計(jì)算
卵形曲線長(zhǎng)度LF由已知條件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166
卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長(zhǎng)度LS，由此找出HZ'點(diǎn)的樁號(hào)及坐標(biāo)（實(shí)際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計(jì)算用）
LM=LS（YH1至HZ'的弧長(zhǎng)）=A2÷R1
=7224.900÷50=144.498
∴HZ'樁號(hào)=YH1+LM=223.715+144.498=368.213
LE=HY2至HZ'的弧長(zhǎng)
=A2÷R2=7224.900÷75=96.332
或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332
卵形曲線長(zhǎng)度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）
HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）
由上說(shuō)明計(jì)算正確
3．HZ'點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算（見(jiàn)圖二）
（圖二）
①用緩和曲線切線支距公式計(jì)算，緩和曲線切線支距公式通式：
Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)
×(RLs)2n–2]
Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)
×(RLs)2n–1]
公式中符號(hào)含義：
n — 項(xiàng)數(shù)序號(hào)(1、2、3、……n)
！— 階乘
R — 圓曲線半徑
Ls — 緩和曲線長(zhǎng)
②現(xiàn)取公式前6項(xiàng)計(jì)算（有關(guān)書(shū)籍中一般為2-3項(xiàng)，不能滿足小半徑的緩和曲線計(jì)算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段緩和曲線，如AK0+160中樁坐標(biāo)帶2項(xiàng)算誤差達(dá)8cm），公式如下：
X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）
Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（
RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）
公式中L為計(jì)算點(diǎn)至ZH'或HZ'的弧長(zhǎng)
HZ'：AK0+368.213的坐標(biāo)從YH1：AK0+223.715推算，
L=LS=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
將L=LS 代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839
L對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)C=√（X2+Y2）=131.5301
偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”
* 偏角計(jì)算用反正切公式，不要用其它公式。
緩和曲線切線角：
a2=90L2÷（πK）
=90×144.4982÷(π×7224.900)
=82°47’28.5”
* K為卵型曲線參數(shù)，本例中
K= A2=7224.900
Q3=180-a1-（180-a2）
=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）
=55°42’28.3”
∴YH1"HZ’切線方位角（M"B）
=205°24’33.6” +Q3
=205°24’33.6”+55°42’28.3”
=261°07’01.9”
∴HZ’：AK0+368.213坐標(biāo)：
X=XYH1+Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293
Y=YYH1+Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838
4．HZ’：AK0+368.213點(diǎn)的切線方位角（D"B）計(jì)算
D"B方位角：
=205°24’33.6”+Q2
=205°24’33.6”+82°47’28.5”
=288°12’02.1”
∴B"D切線方位角：
=288°12’02.1”-180
=108°12’02.1”
5．計(jì)算卵型曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)(以HZ’:AK0+368.213作為推算起點(diǎn))
①計(jì)算HY2:AK0+271.881的坐標(biāo)
∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022
偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61” 對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)C=√（X2+Y2）=94.578
坐標(biāo)：
X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)
=9880.442
Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)
=10100.902
②與設(shè)計(jì)值比較:
rX=X計(jì)算值-X設(shè)計(jì)值=9880.442-9880.438
=+0.004
rY=Y計(jì)算值-Y設(shè)計(jì)值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可計(jì)算出卵型曲線上其它任意點(diǎn)的坐標(biāo)。由此可見(jiàn)，采用此方法計(jì)算求得的坐標(biāo)與設(shè)計(jì)院通過(guò)電腦程序計(jì)算的結(jié)果相差很小，本人多年來(lái)在高速公路多條卵型曲線采用此方法計(jì)算其坐標(biāo)，其計(jì)算精確，完全可以作為包括高速公路在內(nèi)的卵型曲線坐標(biāo)計(jì)算。
