摘要: 利用廣湛高速一復(fù)曲線坐標(biāo)測(cè)設(shè)過程中的實(shí)例數(shù)據(jù)，通過數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)，得出求復(fù)曲線逐樁坐標(biāo)的公式，此推導(dǎo)公式可作為我們道路測(cè)設(shè)中的一個(gè)范例來運(yùn)用，有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。
　　關(guān)鍵詞: 推導(dǎo) 復(fù)曲線 逐樁坐標(biāo) 公式
1．引言
　　現(xiàn)代高等級(jí)公路的連接線、互通立交、匝道和城市道路的線型設(shè)計(jì)很多都采用了復(fù)曲線形式。復(fù)曲線在設(shè)計(jì)中的復(fù)核、校正和在施工放樣中都要通過一種可行的計(jì)算方法才能實(shí)現(xiàn)，本文利用廣湛高速一復(fù)曲線的實(shí)例數(shù)據(jù)，推導(dǎo)得出了求復(fù)曲線逐樁坐標(biāo)的實(shí)用計(jì)算公式，由于在審圖、施工放樣過程中，可以用該公式求出復(fù)曲線內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，具有很好的可操作性，方便了核對(duì)圖紙和現(xiàn)場(chǎng)施工作業(yè)，審圖和測(cè)量精度、質(zhì)量得到了保證，因此該方法可作為我們道路測(cè)設(shè)中的一個(gè)范例來運(yùn)用。
2．復(fù)曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式的推導(dǎo)
2.1 實(shí)例數(shù)據(jù)
　　廣湛高速公路一復(fù)曲線，圖紙中已知R1=150米，R2=60米，AB段為復(fù)曲線（回旋線組合型式）；A點(diǎn)坐標(biāo)為x=68881.232，y=42197.281；B點(diǎn)坐標(biāo)為x=68889.467，y=42236.967；θA=66°37′59.7′′，θB=93°58′51.6″；A點(diǎn)里程為TZK0+866.402；B點(diǎn)里程為TZK0+907.315，導(dǎo)求其它里程點(diǎn)坐標(biāo)。
2.2 幾個(gè)參數(shù)的計(jì)算
　　設(shè)新坐標(biāo)系為x′o′y′，o′x′為橫軸，o′y′為縱軸，A點(diǎn)上的切線與o′x′的夾角為βA，B點(diǎn)上的切線與o′x′的夾角為βB。
　　因AB段長(zhǎng)度為907.315-866.402＝40.913（米）
　　根據(jù)回旋線方程1／R=CL，C=1／A2(其中L為AO′長(zhǎng)度，A為回旋參數(shù))，則：
　　1／150=CL…………………….. (1)
　　1／60=C（L+40.913）…………(2)
求解上述（1）、（2）方程組得：A=63.96，L=27.275。
因βA=L／2R1×180／π=5°12′32.9″，
βB=（L＋40.913）／2R2×180／π=32°33′24.8″。
所以o′x′的方位角為：（作圖判斷正號(hào)或負(fù)號(hào)）
а=66°37′59.7″－5°12′32.9″=61°25′27″
а=93°58′51.6″－32°33′24.8″=61°25′27″
由此可見a的計(jì)算是正確的。
2.3推導(dǎo)逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式
　　根據(jù)回旋曲線的坐標(biāo)數(shù)學(xué)計(jì)算公式：
　　x′ =L(1－L4／40A4+ L3／3456 A3……) ……(3)
　　y′ = L3／6A2(1－L4／56 A4+ L3／7040 A3……) ……(4)
（其中L為o′點(diǎn)至某里程樁號(hào)點(diǎn)曲線長(zhǎng)度，A為回旋參數(shù)）.
把A點(diǎn)處L=27.275，代入（3）（4）式可解得：
　　x′A =27.27×[1-27.2754/(40×63.964)+27.2753/(3456×63.963)]=27.252
　　y′A =27.2753/{6×63.962[1-27.2754/(56×63.964)+27.2753/(7040×63.963)]}=0.827
然后根據(jù)坐標(biāo)變換公式：
　　x=xo′+ x′A cosа－y′A sinа………(5)
　　y=y0′+ x′A sinа+ y′A cosа………(6)
把A點(diǎn)（x,y）和（x′A，y′A）代入(5)、（6）方程組可解得o′點(diǎn)的坐標(biāo)：
　　xo′=68868.9740， yo′=42172.9531
所以可得復(fù)曲線任意里程點(diǎn)的坐標(biāo)推導(dǎo)公式為：
　　x=68868.9740+ x′cosа－y′ sinа………(7)
　　y=72172.9531+ x′sinа+ y′cosа ………(8)，其中a=61°25′27″
3．利用計(jì)算公式求復(fù)曲線的逐樁坐標(biāo)
　　現(xiàn)利用此推導(dǎo)公式計(jì)算樁號(hào)為TZK0+870的坐標(biāo)：
　　第一步，求出L=870-866.402+27.275=30.873米。
　　第二步，利用（3）（4）式求出x′=30.831，y′ =1.002
　　第三步，把x′、y′、a的值代入（7）（8）式可求出TZK0+870的坐標(biāo)為：　　　　x=68882.669， y=42200.601。
　　同理，其他對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果如下:
TZK0+880： x=68886.007， y=42210.024。
TZK0+890： x=68888.388， y=42219.731。
TZK0+900： x=68889.547， y=42229.656。
　　為提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，提高工作效率和減輕計(jì)算的工作量，在實(shí)際應(yīng)用中配合電子計(jì)算器以輔助工作。
　　1、設(shè)定函數(shù)變量，并給變量賦值。如上例，已知參數(shù)賦給相應(yīng)代號(hào)的函數(shù)變量。其中，Z1=βA，Z2=βB，Z3=a，Z4=θA，Z10=XA，Z11=YA，L=Z0-KA（KA為點(diǎn)A的里程）。
　　2、計(jì)算：Z1=180×L/2πR1，Z2=（L+40.913）×180/2πR2，
Z3=Z4－Z1，Z5=L（1－L4/40A4+ L3/3456A3）；
Z6= L3/6A2（1 L4/56A4+ L3/7040A3）；
Z7=Z10－Z5cosZ3+Z6sinZ3，
Z8=Z11－Z5sinZ3－Z6cosZ3，
Z12=Z7+ Z5cosZ3－Z6sinZ3，
Z13=Z8+ Z5sinZ3－Z6cosZ3。
　　3、操作：準(zhǔn)備工作就緒后，給變量L賦值（如TZK0+870），按EXE，計(jì)算器顯示TZK0+870點(diǎn)的x坐標(biāo)值，x=68882.669，再按EXE，顯示TZK0+870點(diǎn)的y坐標(biāo)值，y=42200.601。
4. 復(fù)曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式的應(yīng)用
　　利用上述推導(dǎo)的計(jì)算公式可根據(jù)實(shí)際需要求出復(fù)曲線內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，以供我們利用。
　　4.1在復(fù)曲線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用　
　　如上例，在設(shè)計(jì)中定出的參數(shù)后，利用本計(jì)算公式求出TZK0+880、TZK0+890、TZK0+900等點(diǎn)的坐標(biāo)，并在實(shí)地分別把這些點(diǎn)放樣于實(shí)地，核實(shí)放樣點(diǎn)與實(shí)際地形是否相符，最后確定曲線的參數(shù)，如果不理想，則重新調(diào)整參數(shù)使它達(dá)到最佳的效果。如果實(shí)地情況復(fù)雜或?qū)υO(shè)計(jì)曲線的走向有較高的要求時(shí)，則這一校正過程顯得尤為重要。此方法在設(shè)計(jì)的選線中有一定的指導(dǎo)意義。
4.2在施工前圖紙審查中的應(yīng)用
　　在上述實(shí)例中，如果圖紙已給出TZK0+880的坐標(biāo)值（x=68886.007；y=42210.024），則利用該方法計(jì)算出對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)值，看兩者是否一致，以達(dá)到在施工前對(duì)設(shè)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)核的目的，提高施工的準(zhǔn)確性和效率。此方法在施工前對(duì)圖紙的復(fù)核有一定的實(shí)際意義。
4.3在施工中的應(yīng)用
　　上實(shí)例中，設(shè)計(jì)圖沒有提供TZK0+880、TZK0+890、TZK0+900點(diǎn)的坐標(biāo)，而實(shí)際施工時(shí)要用到這些點(diǎn)的坐標(biāo)，可用本推導(dǎo)公式計(jì)算出這些點(diǎn)的坐標(biāo)值來放樣實(shí)地，指導(dǎo)施工。一般來說，設(shè)計(jì)圖中提供的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量是較少的，不能滿足實(shí)際的需要，本文所推導(dǎo)的復(fù)曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式可以根據(jù)實(shí)際需要計(jì)算出復(fù)曲線內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，以幫助我們解決實(shí)際的問題，在施工放樣等道路測(cè)設(shè)中起到一定的作用。
4.4 在計(jì)算面積中的應(yīng)用
　　利用本公式可以準(zhǔn)確地計(jì)算出含復(fù)曲線的幾何圖形的面積，取的點(diǎn)越多，計(jì)算的面積越準(zhǔn)確。
4.5計(jì)算公式應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的地方
　　該計(jì)算公式在實(shí)際運(yùn)用中有很多的優(yōu)點(diǎn)，但在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意，在計(jì)算o′x′方位角時(shí)需作圖判斷βA、βB角的取值（正、負(fù)值），當(dāng)θA、θB屬于第一三象限角時(shí)βA、βB取負(fù)值；當(dāng)θA、θB屬于第二四象限角時(shí)βA、βB取正值。
5、結(jié)語
　　在廣湛高速的道路測(cè)設(shè)中運(yùn)用此方法在復(fù)核圖紙、施工放樣和復(fù)核施工人員的測(cè)量資料中都取得了一定的作用，通過實(shí)踐驗(yàn)證了此方法在道路測(cè)設(shè)中有一定的實(shí)用意義，值得推廣。