一、概念

卵形曲線：是指在兩半徑不等的圓曲線間插入一段緩和曲線。也就是說：卵形曲線本身是緩和曲線的一段，只是在插入時(shí)去掉了靠近半徑無(wú)窮大方向的一段，而非是一條完整的緩和曲線。

二、卵形曲線坐標(biāo)計(jì)算原理

根據(jù)已知的設(shè)計(jì)參數(shù)，求出包括卵形

 

曲線的完整緩和曲線的相關(guān)參數(shù)和曲線要素，再按緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算的方法來(lái)計(jì)算卵形曲線上任意點(diǎn)上的坐標(biāo)。

三、坐標(biāo)計(jì)算

以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西寧）立交區(qū)A匝道一卵形曲線為例，見圖一：

 

（圖一）

已知相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見下表：

主點(diǎn) 樁號(hào)	坐 標(biāo) （m）		切線方位角 （θ）
	X	Y	° ’ ”
ZH AK0+090	9987.403	10059.378	92 17 26.2
HY1 AK0+160	9968.981	10125.341	132 23 51.6
YH1 AK0+223.715	9910.603	10136.791	205 24 33.6
HY2 AK0+271.881	9880.438	10100.904	251 24 18.5
YH2 AK0+384.032	9922.316	10007.909	337 04 54.2
HZ AK0+444.032	9981.363	10000.000	0 00 00

 

1、緩和曲線（卵形曲線）參數(shù)計(jì)算

A1==59.161

卵形曲線參數(shù)：

A²=（HY₂-YH₁）×R₁（小半徑）

×R₂（大半徑）÷（R₂-R₁）

=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）

= 7224.900

A2==84.999

A3==67.082

2．卵形曲線所在緩和曲線要素計(jì)算

卵形曲線長(zhǎng)度L_F由已知條件知：L_F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166

卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長(zhǎng)度L_S，由此找出HZ'點(diǎn)的樁號(hào)及坐標(biāo)（實(shí)際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計(jì)算用）

L_M=L_S（YH1至HZ'的弧長(zhǎng)）=A²÷R1

=7224.900÷50=144.498

∴HZ'樁號(hào)=YH1+L_M=223.715+144.498=368.213

L_E=HY2至HZ'的弧長(zhǎng)

=A²÷R2=7224.900÷75=96.332

或L_E= L_M-L_F=144.498-48.166=96.332

卵形曲線長(zhǎng)度L_F=L_M-L_E=144.498-96.332=48.166（校核）

HY2=HZ'-L_E=368.213-96.332=271.881（校核）

由上說明計(jì)算正確

3．HZ'點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算（見圖二）

（圖二）

①用緩和曲線切線支距公式計(jì)算，緩和曲線切線支距公式通式：

Xn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–3]÷[(2n-2)!×2^2n–2×(4n-3)

×(RLs)^2n–2]

Yn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–1]÷[(2n-1)!×2^2n–1×(4n-1)

×(RLs)^2n–1]

公式中符號(hào)含義：

n — 項(xiàng)數(shù)序號(hào)(1、2、3、……n)

！— 階乘

R — 圓曲線半徑

Ls — 緩和曲線長(zhǎng)

②現(xiàn)取公式前6項(xiàng)計(jì)算（有關(guān)書籍中一般為2-3項(xiàng)，不能滿足小半徑的緩和曲線計(jì)算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段緩和曲線，如AK0+160中樁坐標(biāo)帶2項(xiàng)算誤差達(dá)8cm），公式如下：

X=L-L⁵÷[40（RL_S）²]+L⁹÷[3456（RL_S）⁴]–L¹³÷[599040（RL_S）⁶]+L¹⁷÷[175472640（RL_S）⁸]- L²¹÷[7.80337152×10¹⁰（RL_S）¹⁰] （公式1）

Y=L³÷[6（RL_S）] - L⁷÷[336（RL_S）³]+L¹¹÷[42240（RL_S）⁵] - L¹⁵÷[9676800（

RL_S）⁷]+L¹⁹÷[3530096640（RL_S）⁹] - L²³÷[1.8802409472×10¹²（RL_S）¹¹] （公式2）

公式中L為計(jì)算點(diǎn)至ZH'或HZ'的弧長(zhǎng)

HZ'：AK0+368.213的坐標(biāo)從YH1：AK0+223.715推算，

L=L_S=HZ'-YH1

=368.213-223.715=144.498

將L=L_S 代入公式（1）、（2）得：

X=117.1072 Y=59.8839

L對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)C=√（X²+Y²）=131.5301

偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”

* 偏角計(jì)算用反正切公式，不要用其它公式。

緩和曲線切線角：

a2=90L²÷（πK）

=90×144.498²÷(π×7224.900)

=82°47’28.5”

* K為卵型曲線參數(shù)，本例中

K= A²=7224.900

Q3=180-a1-（180-a2）

=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）

=55°42’28.3”

∴YH1"HZ’切線方位角（M"B）

=205°24’33.6” +Q3

=205°24’33.6”+55°42’28.3”

=261°07’01.9”

∴HZ’：AK0+368.213坐標(biāo)：

X=X_YH1+Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293

Y=Y_YH1+Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838

4．HZ’：AK0+368.213點(diǎn)的切線方位角（D"B）計(jì)算

D=288°12’02.1”-180

=108°12’02.1”

5．計(jì)算卵型曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)(以HZ’:AK0+368.213作為推算起點(diǎn))

①計(jì)算HY2:AK0+271.881的坐標(biāo)

∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022

偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61” 對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)C=√（X²+Y²）=94.578

坐標(biāo)：

X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=9880.442

Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=10100.902

②與設(shè)計(jì)值比較:

rX=X計(jì)算值-X設(shè)計(jì)值=9880.442-9880.438

=+0.004

rY=Y計(jì)算值-Y設(shè)計(jì)值=10100.902-10100.904

=-0.002 mm

同理依次可計(jì)算出卵型曲線上其它任意點(diǎn)的坐標(biāo)。由此可見，采用此方法計(jì)算求得的坐標(biāo)與設(shè)計(jì)院通過電腦程序計(jì)算的結(jié)果相差很小，本人多年來(lái)在高速公路多條卵型曲線采用此方法計(jì)算其坐標(biāo)，其計(jì)算精確，完全可以作為包括高速公路在內(nèi)的卵型曲線坐標(biāo)計(jì)算。