【摘要】 本文以公路測量為例，較詳細地論述了在線路測量中應(yīng)考慮的變形因素，以及解決變形的辦法，詳細地敘述了建立獨立坐標系的作用及建立這種坐標系的六種方法，并介紹了因提高歸化高程面而產(chǎn)生新橢球后的一些橢球常數(shù)的計算方法和步驟。此外，本文還對當路線跨越相鄰投影帶時，需要進行相鄰帶的坐標換算這一問題進行了闡述。
【關(guān)鍵字】 獨立坐標系 高斯投影帶 抵償高程面 新橢球常數(shù) 坐標轉(zhuǎn)換 歸化高程面
線路控制測量中坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一方法
第一章概述
鐵路、公路、架空送電線路以及輸油管道等均屬于線型工程，它們的中線統(tǒng)稱線路。一條線路的勘測和設(shè)計工作，主要是根據(jù)國家的計劃與自然地理條件，確定線路經(jīng)濟合理的位置。為達此目的，必須進行反復地實踐和比較，才能湊效。
線路在勘測設(shè)計階段進行的控制測量工作，稱線路控制測量，在線路控制測量過程中，由于每條線路不可能距離較短,有的可能跨越一個帶,二個帶甚至更多,所以,在線路控制測量中,長度變形是一個不可避免的問題，但我們可以采取一些措施來使長度變形減弱，將長度變形根據(jù)施測的精度要求和測區(qū)所處的精度范圍控制在允許的范圍之內(nèi)。最有效的措施就是建立與測區(qū)相適應(yīng)的坐標系統(tǒng).
坐標系統(tǒng)是所有測量工作的基礎(chǔ).所有測量成果都是建立在其之上的,一個工程建設(shè)應(yīng)盡可能地采用一個統(tǒng)一的坐標系統(tǒng).這樣既便于成果通用又不易出錯.對于一條線路,如果長度變形超出允許的精度范圍,我 們將建立新的坐標系統(tǒng)加以控制.這就涉及到一個非常關(guān)鍵的問題,既,坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一.對于不同的情況,我們可以采用適應(yīng)的方法盡可能建立統(tǒng)一的坐標系統(tǒng),且使其長度變形在允許范圍之內(nèi).
本文以公路控制測量為例，詳細論述了線路控制測量中坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一方法.
第二章 坐標系統(tǒng)的建立
當對一條線路進行控制測量時,首先應(yīng)根據(jù)已有資料判斷該測區(qū)是否屬同一投影帶和長度變形是否在允許范圍之內(nèi).這樣我們就可以判斷是否需要建立新的坐標系統(tǒng)和怎樣建立,下面對此進行詳細討論.
§2.1 相對誤差對變形的影響
與國家點聯(lián)測的情況：
我們的每項測量工作都是在地球表面上進行的,而要將實地測量的真實長度歸化到高斯平面上,應(yīng)加入二項改正.這樣就改變了其真實長度,這種高斯投影平面上的長度與地面長度之差,稱之為長度綜合變形,其計算公式為,
£=+Ym²*S/2R²-Hm*s/Ra
�。篟=Ra=6371Km.S=s
將其寫成相對變形的形式并代入數(shù)子：
£/s=(0.00123y²-15.7H)*10
y：測區(qū)中心橫坐標（Km）
H：測區(qū)平均高程（Km）
依據(jù)我國的工程測量規(guī)范規(guī)定，建立平面控制網(wǎng)的坐標系統(tǒng)應(yīng)該保證長度綜合變形不超過2.5cm/km.（相對變形不超過1/40000）。與國家電聯(lián)側(cè)的情況。
2.1.1當長度綜合變形小于2.5cm/km,（相對變形小于1/40000）時
因為這時的長度變形符合精度要求,即在允許的誤差范圍之內(nèi),故這時的變形不予考慮。直接采用國家統(tǒng)一的坐標系統(tǒng)。
2.1.2當長度綜合變形大于2.5cm/km,（相對變形超過1/40000）時
因為這時的長度綜合變形已不符合精度要求，所以必須對變形予以考慮，那么我們要采取何措施才能最大程度地限制變形，將變形控制在允許的范圍之內(nèi)呢?方法就是建立適應(yīng)于該測區(qū)的地方獨立坐標系.
§2.2建立地方獨立坐標系
2.2.1建立地方獨立坐標系的作用
在工程建設(shè)地區(qū)(如公路，鐵路，管線，水庫)布設(shè)測量控制網(wǎng)時,其成果不僅要滿足1:500比例尺測圖需要,而且還應(yīng)滿足一般工程放樣的需要.在線路測量中，最總是要將測的收據(jù)經(jīng)計算在放倒實地而施工放樣時要求控制網(wǎng)由坐標反算的長度與實測的長度盡可能相符,但國家坐標系的成果很難滿足這樣的要求,這是因為國家坐標系每個投影帶（高斯投影）都是按一定的間隔(6°或3°)劃分,由西向東有規(guī)律地分布.而每項工程建設(shè)地區(qū)的中眼再者,國家坐標系的高程歸化面是參考橢球面,各地區(qū)的地面位置與參考橢球面都有一定的距離,這兩項將產(chǎn)生高斯投影變形改正和高程歸化改正,經(jīng)過這兩項改正后的長度不可能與實測的長度相等.
建立獨立坐標系的主要目的就是為了減小高程歸化與投影變形產(chǎn)生的影響,將它們控制在一個微小的范圍,使計算出來的長度在實際利用時(如工程放樣)不需要做任何改算.
2.2.2建立獨立坐標系主要考慮哪些方面的因素
建立獨立坐標系主要考慮兩個方面的因素：一是分帶;一是建立抵償高程面.
2.2.2.1分帶方法
地球的形狀與大小,即大地水準面的形狀與大小,十分接近一個兩極稍扁的旋轉(zhuǎn)橢球體.我們平常所用的地形圖一般采用高斯投影,即橫軸橢圓柱正形投影.如圖(略), 橢球與橢圓柱面相切的子午線成為中央子午線或軸子午線,即高斯平面直角坐標系的X軸.將中央子午線東西方向一定經(jīng)差(一般為6°或3°)范圍地區(qū)投影到橢圓柱面上再把橢圓柱面按某一棱線展開,便構(gòu)成了高斯平面直角坐標系統(tǒng)。
高斯投影中,除中央子午線外,橢球面上上任何兩點投影到橢圓柱面上,兩點間線段的長度均發(fā)生變形，且隨著中央子午線兩側(cè)經(jīng)差的增大，長度變形加劇。為了控制這種長度變形，使它在測圖和用圖時影響很小，在相隔一定地區(qū)另立中央子午線，即采用分帶投影。我國國家測量規(guī)定采用6°帶和3°代兩種分帶辦法。一般地，對于1/25000~1/100000的地形圖采用6°帶，對于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3°帶，同時還規(guī)定每一個6°帶向東加寬30′，向西加寬15′或7.5′，以保證在投影帶的邊緣部分有兩套坐標和地形圖，便于在邊緣部分補點、計算。有些測繪單位為了控制長度變形，滿足工程放樣的需要，往往對1/1000、1/500或更大比例尺的地形圖采用1.5°帶或獨立投影帶。由于采用分帶投影，橢球面上統(tǒng)一的坐標系被分割成相互獨立的坐標系。在公路施工測量中，常常會遇到內(nèi)容完全相同的地形圖中點的坐標不一樣的情況，就是在測圖時采用了不同中央子午線的緣故，需要進行坐標換帶計算。
2.2.2.2投影帶的選擇
國家坐標系統(tǒng)為了控制長度變形，雖然采用了分帶投影，以滿足測圖的基本要求，但長度變形依然存在，尤其是在投影帶的邊緣，長度變形不能滿足高等級公路勘測和施工的要求。減弱長度變形的辦法是根據(jù)精度要求和測區(qū)所處的精度范圍來選擇中央子午線和投影帶的大小重新確定分帶投影。<<工程測量規(guī)范>>規(guī)定，當長度變形超過1/40000時，必須進行分帶投影。
2.2.2.2.1長度變形
在高斯投影中，首先要把地面上的長度換算到參考橢球面上，然后再換算到參考橢球面上。設(shè)地面上的長度為S,Hm為平均高程面高程，hm表示大地水準面超出參考橢球面的高度，R表示地面長度方向法截線的曲率半徑，那么，將地面上的長度換算到參考橢球面上的改正數(shù)為：
⊿
=-
……
當
=2000m時，二次項的影響小于10
，
的影響也很小，可以忽略。因此
⊿= -
┅┅┅┅┅┅⑴
將參考橢球面上的長度換算到高斯平面上的改正數(shù)為：
⊿
當
<70km和
<350km時（6º帶邊緣），公式誤差小于10m；對于邊長較短的三、四等計算，完全可以只取第一項：
⊿
┅┅┅┅┅┅⑵
由上面兩式可以看出，兩項改正符號互為相反 。理論上，當兩項改正大小相等時，長度變形為零。即
┅┅┅┅┅┅⑶
按式⑴選擇測區(qū)中心點，理論上可以滿足地面距離與高斯平面上的距離保持一致。
2.2.2.2.2測區(qū)中心點大地坐標（B,L）的計算
設(shè)公路起點坐標為(
,
),中點坐標為（
,
）,令
已知
子午圈弧長公式為
┅┅┅┅┅⑷
對我國采用的克氏橢球來說
高斯投影反算公式（高斯投影中由平面直角坐標計算該點在橢球面上的地理坐標的公式）為
┅┅
┅┅┅┅┅┅⑸
計算時尚需將
換成
。
┅┅┅┅┅┅⑹
由公式⑵⑶⑷可計算出點（
,
）的大地坐標(
,
)
按式⑴計算出,同樣可求出
′,則新投影的中央子午線為：
2.2.2.2.3投影范圍的確定
實際上，測區(qū)范圍不是一個理想的水平面，總是高低不平，y值變動有正有負，雖然采用新投影，但殘余變形依然存在。對式⑴、式⑵微分：
轉(zhuǎn)換成中誤差的形式：
兩項誤差的共同影響為
將式⑶帶入并整理得：
┅┅┅┅┅┅⑺
即為某點相對于測區(qū)中心變動的最大幅度。因此，投影帶的最大寬度為
。如果測區(qū)范圍內(nèi)值變動大于，則要進行分帶處理。下面通過實例幫助分析理解這一點。
2.2.2.2.4例：從國家3°帶基本圖上查得某高速公路起點坐標為 （3272722，40605050），終點坐標為（3273592，40667890），該測區(qū)為平原微丘，高程變化為170∽230m，平均海拔高程為200 m，要求測區(qū)內(nèi)長度變形不超過1/15000，試分析是否要進行換帶投影。
第一步：分析是否可以直接套用國家坐標系統(tǒng)
由已知數(shù)據(jù)計算得：
由式⑴、式⑵計算得到長度變形之和為1/5050，超出精度要求范圍，故不能套用國家坐標系統(tǒng)，必須進行換帶投影。
第二步：投影帶寬度的確定
要求長度變形小于1/15000，按式⑺求得
,而測區(qū)內(nèi)
值變動為
故只需選擇一個投影帶即可。
第三步：求測區(qū)中心點的大地坐標
由坐標值可知，
°。由、按式⑸ 、式⑹可計算出：
B=29°34′30″
l=1°24′33″
按式⑶求得=50481.68,由、按式⑸ 、式⑹可計算出：
l′=0°31′16″
選取中央子午線的原則是，以靠近國家坐標系統(tǒng)標準投影帶中央子午線的值作為新的投影帶的中央子午線。因此
120°53′14″
新的投影帶中央子午線確定后，原國家點坐標要換算到新的坐標系中方能使用。
2.2.2.3如何確定抵償高程面
我們知道，將實地測量的真實長度歸化到國家統(tǒng)一的橢球面上時，應(yīng)加如下改正數(shù)
⊿
┅┅┅┅┅┅⑻
式中 
——長度所在方向的橢球曲率半徑；
——長度所在高程面對于橢球面的高差；
——實地測量水平距離。
然后再將橢球面上的長度投影至高斯平面,則加入如下改正數(shù)
⊿
┅┅┅┅┅┅⑼
式中 
——測區(qū)中點的平均曲率半徑；
——距離的末端點橫坐標平均值。
這樣地面上的一段距離，經(jīng)過上面兩次改正計算，被該改變了真實長度。這種高斯投影平面上的長度與地面長度之差，我們稱之為長度綜合變形，其計算公式為
為了計算方便，又不致?lián)p害必要精度，可以將橢球視為圓球，取圓球半徑≈≈6371km,又取不同投影面上的同一距離近似相等，即S≈s,將上式寫成相對變形的形式，則為
┅┅┅┅┅┅ ⑽
公式⑴表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小的；公式⑵則表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時，長度總是增加的。所以兩個投影過程對長度變形具有抵償?shù)男再|(zhì)。如果適當選擇橢球的半徑，是距離化算到這個橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這個橢球面化算至高斯平面所增加的數(shù)值，那么高斯平面上的距離同實地距離就一致了。這個適當半徑的橢球面，就稱為“抵償改稱面”。
欲使長度綜合變形得以抵償，，必須
將推證式⑶時所用的關(guān)系和數(shù)據(jù)代入，
則
式中，若
以百公里作單位，
以m作單位則
┅┅┅┅┅┅⑾
利用上式可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影3º帶的坐標
,該地平均高程為400m，按式⑷算得
即抵償面應(yīng)比平均高程面低650m,如圖1所示。
圖1
于是抵償面的高程為
2.2.3建立地方獨立坐標系的方法
建立地方獨立坐標系的方法較多，下面討論幾種可供選擇的方案。討論之前，讓我們先看看長度元素高程歸化改正與高斯投影長度改化計算。
一個導線網(wǎng)觀測邊長的歸算可分為高程歸化和長度改化，而方向觀測值也要經(jīng)過方向改化后，才能作為平面的邊與邊之間的連接方向值，但由于其值較小，不作敘述。這里主要看一看高程歸化和長度改化對邊長帶來的影響。
將地面上觀測的長度元素歸算到參考橢球面上按以下公式計算：
,
,
。
式中：
為歸化到參考橢球體面上的長度；
為地面上的觀測長度；
為高程歸算改正；
為觀測邊的平均大地高；
為觀測邊相對于大地水準面的平均高程；
為大地水準面至參考橢球面的距離；
為該地區(qū)平均曲率半徑；
為參考橢球子午圈曲率半徑；
為參考橢球卯酉圈曲率半徑。
|
Hm( hm1+hm2)∕m
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- Hm∕ Rm
|
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10
|
1:60萬
|
|
20
|
1:30萬
|
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50
|
1:10萬
|
|
100
|
1:6萬
|
|
150
|
1:4萬
|
|
200
|
1:3萬
|
|
300
|
1:2萬
|
|
400
|
1:1.5萬
|
|
500
|
1:1.2萬
|
|
1000
|
1:6000
|
|
2000
|
1:3000
|
|
3000
|
1:2000
|
|
4000
|
1:1000
|
為改化到高斯平面上的長度；為在參考橢球面上的長度；為在高斯平面上離中央子午線垂距的平均值；為該地區(qū)平均曲率半徑。
，邊長離中央子午線垂距的相對變形見表2。
 |
 |
|
10
|
1:80萬
|
|
20
|
1:20萬
|
|
30
|
1:9萬
|
|
40
|
1:5萬
|
|
45
|
1:4萬
|
|
50
|
1:3萬
|
|
100
|
1:8000
|
|
150
|
1:3600
|
|
200
|
1:2000
|
|
300
|
1:900
|
，
表示相對誤差。 =1/4萬，則按上面假設(shè)數(shù)據(jù)
,
)不變，而將其它大地控制點坐標(
,)換算到抵償高程面相應(yīng)的坐標系中去。換算公式為
”。取高斯投影坐標正算公式
″= 7362″
——測區(qū)中心位置的緯度和經(jīng)度；——橢球在緯度B處的卯酉圈曲率半徑；——測區(qū)的平面高程；——經(jīng)度與任意帶的中央子午線經(jīng)度
之差。≈0,≈0,使得按式⑽計算的δ≈0，做到測區(qū)范圍內(nèi)的長度綜合變形為最小。為此，應(yīng)對用作控制測量起算數(shù)據(jù)的國家大地點坐標進行如下處理：)；并由大地坐標計算這些點在選定的中央子午線投影帶內(nèi)的平面直角坐標(
)。
式中：為該地區(qū)平均大地高；為城市中心地區(qū)的平均緯度。
,
），
其中：
),
),
),
另一組常數(shù)為：
新橢球常數(shù)計算后就可以將屬于國家大地坐標系的起算點轉(zhuǎn)換為地方獨立坐標系。
設(shè)某起算點在國家坐標系中的大地坐標為B,L，由于新橢球的球心與舊橢球重合，扁率不變，經(jīng)度不會發(fā)生變化，
即
其緯度值為：
式中：
W
Δa為兩橢球的長半軸之差，
為國家參考橢球第一偏心率
再根據(jù)新布設(shè)的中央子午線，采用高斯投影正算公式可將
、
化為
、
,然后對所有觀測數(shù)據(jù)均以新坐標系為準進行化算和平差。如果要將獨立坐標系點的坐標化為國家坐標系，只要根據(jù)高斯投影反算公式計算出、, 然后利用上列公式化為國家坐標系的，再利用高斯投影正算公式并根據(jù)國家坐標系相應(yīng)的中央子午線，即可化為
。
國家測繪局大地測量數(shù)據(jù)處理中心已編制了一整套建立地方獨立坐標系的軟件，可以供所需單位使用。
*前面我們所論述的線路測量中的變形處理及坐標系的建立都是與國家點聯(lián)測時的情況，那么當線路不與國家點聯(lián)測時，又采取什么措施呢？
因為這種情況下一般是建設(shè)低等級公路，精度要求很低，這時我們可以建立自由坐標系，不考慮變形。
第三章 相鄰帶的坐標換算
§1概述
當線路較長時 ，線路可能會穿越兩個、三個或更多的投影帶，因為越靠近投影帶的邊緣，高斯投影變形越大，我們必須采取一定的方法對變形加以限制，采取的方法就是通過移動投影帶的中央子午線，將一個投影帶邊緣的線路坐標轉(zhuǎn)換到另一個帶中進行處理計算，從而達到減小變形、將變形控制在允許的范圍之內(nèi)的目的。那么具體該如何處理呢?下面我們將詳細論述并解決這個問題。
前面已經(jīng)說過，我國國家測量規(guī)定采用6 º帶和3 º帶兩種分帶辦法 。一般地，對于1/25000~1/100000的地形圖采用6 º帶，對于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3º帶，在實際的線路測量中，我們采用的地形圖一般都是1/10000或更大比例尺的地形圖，所以一般采用3º帶。如圖2所示，是一條線路穿過兩個3º帶的情況（一般情況下一條線路至多穿過兩個帶），因為越靠近投影帶的邊緣長度變形越大，所以，為了減小長度變形，我們向左適當移動2號帶的中央子午線，于是，2號帶邊緣的點通過移動就轉(zhuǎn)到靠近1號帶中央子午線的地方，因為這兩個帶有交叉，所以這兩個帶之間存在著共同的幾何關(guān)系，由這一幾何關(guān)系和相鄰帶的坐標換算就可以計算出該點在1號帶的相應(yīng)坐標，由此，我們實現(xiàn)了減小線路在投影帶邊緣的長度變形和坐標換算的目的，下面，我們詳細論述相鄰帶的坐標換算方法。
圖2
§2換算方法
該換算法是以大地坐標（）作為過渡，換算方法如下：
3.2.1取已知點的縱坐標，使
，用子午弧長公式和逐次趨近法求
3.2.2計算緯差經(jīng)差求得后
然后按式⑸、式⑹計算緯差、經(jīng)差（見圖3）。
圖3
3.2.3計算地理坐標（）
3.2.4計算點在鄰帶的經(jīng)差′
分別是兩相鄰帶的中央子午線的經(jīng)度，可由已知點坐標前的帶號求得。
6º帶：
3º帶：
我國幅員遼闊，包含了西自75º東至135º范圍內(nèi)的投影帶。所有6º帶的中央子午線都是3º帶的中央子午線。
3.2.5計算點在鄰帶的坐標
高斯投影正算公式為：
┅┅┅┅┅┅⑿
求得
后，按式⑿計算點在鄰帶的坐標
最后，應(yīng)在
值上加
，前面再加上鄰帶的帶號。
