簡(jiǎn)介： 這里將介紹基于管網(wǎng)基本定理的復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型分析法，該方法也稱節(jié)點(diǎn)法。利用該方法可以將復(fù)雜管網(wǎng)的鄰接矩陣將簡(jiǎn)單管道與復(fù)雜管網(wǎng)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)。同時(shí)給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數(shù)的計(jì)算方法。
關(guān)鍵字：非線性管網(wǎng) 節(jié)點(diǎn)法 水力分析
復(fù)雜管網(wǎng)分析方法有多種，近年新出現(xiàn)的有圖論法和有限元法[3][4]。兩種方法各有所長(zhǎng)，圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以適用范圍各不相同管網(wǎng)水力計(jì)算。有限元法通過(guò)局部的管元分析得出管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型。
管網(wǎng)水力分析的基礎(chǔ)是管段的水力學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。這兩個(gè)公式原用于管道沿程水力損失的計(jì)算，公式來(lái)源于理論研究和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果。這兩個(gè)公式的應(yīng)用基礎(chǔ)是大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得出的參數(shù)。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 實(shí)驗(yàn)公式和 Moody 圖表來(lái)求出沿程損失系數(shù)f[2]。文獻(xiàn)[1]論述了水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理，該理論統(tǒng)一了局部損失和沿程損失的數(shù)學(xué)模型。這里進(jìn)一步討論在復(fù)雜管網(wǎng)中，基于該定理并利用節(jié)點(diǎn)分析方法給出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其應(yīng)用。
1. 管網(wǎng)模型
1.1. 管道模型
按文獻(xiàn)[1]介紹的：
定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。
（1）
式中：a, b為不會(huì)等于零的實(shí)系數(shù)；hf為管段的水頭損失；q是管段內(nèi)的流量。
換言之，對(duì)于管段兩端，記上游端水頭為H2，下游端水頭為H1，即：
（2）
1.2. 復(fù)雜管網(wǎng)模型
對(duì)于復(fù)雜管網(wǎng)，這里所說(shuō)的復(fù)雜是指有多環(huán)、多水源、多出流口的管網(wǎng)，對(duì)于這種管網(wǎng)可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來(lái)表示。
記：
式中： H為管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量；q為管網(wǎng)的管段流量；n為管網(wǎng)中的管段數(shù)量。
為了有利于統(tǒng)一表達(dá)式，記管段兩端的水頭為H1，H2 。
對(duì)于簡(jiǎn)單管段有：
（4）
容易看出這種變形為采用線性方程組提供了方便。當(dāng)?shù)?/span>t次計(jì)算時(shí)，令：
（5）
式中： 
管段在第t-1時(shí)的流量，在第t-1次計(jì)算時(shí)它是已知量；
是管段在第t時(shí)的假定流量。
q是有方向的矢量，其方向是由管段端點(diǎn)2指向端點(diǎn)1。換言之，端點(diǎn)2水頭大于端點(diǎn)1的水頭，這樣水才能從端點(diǎn)2流到端點(diǎn)1，流量的值才可能是正值。從數(shù)學(xué)的角度理解，假定H1，H2，q為不為零的實(shí)數(shù)，H1，H2前面的正負(fù)號(hào)可以表示為管段的端點(diǎn)i在流量指向的方向。
對(duì)于如圖1所示的管網(wǎng)，可以用管網(wǎng)鄰接矩陣A表示。
圖1. 一個(gè)簡(jiǎn)單復(fù)雜管網(wǎng)圖
對(duì)于圖1按節(jié)點(diǎn)及管段編號(hào)來(lái)關(guān)聯(lián)，行是管段，列是節(jié)點(diǎn)。
①節(jié)點(diǎn)與1管段、2管段相連接，因假定管段的水流方向是由節(jié)點(diǎn)編號(hào)大端流向節(jié)點(diǎn)編號(hào)小端。①節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是
。同理：②節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是
，易知：
容易得到矩陣：
通常將以上矩陣稱為管網(wǎng)的鄰接矩陣，
2. 節(jié)點(diǎn)分析法
如令：
圖1中與矩陣等式
（6）
對(duì)應(yīng)的是以下矩陣：
（7）
對(duì)①節(jié)點(diǎn)有：
對(duì)②節(jié)點(diǎn)有：
表明矩陣等式可以表示節(jié)點(diǎn)流量守恒定律。
根據(jù)流量守恒定律和能量守恒定律，有的學(xué)科也稱為Kirchhoff 第一定律和第二定律。管網(wǎng)系統(tǒng)的兩個(gè)定律可表達(dá)為：
（8）
這也是節(jié)點(diǎn)分析法的關(guān)鍵方程組。
其中：
（9）
式中： Ac 節(jié)點(diǎn)與管段的鄰接矩陣；Af 節(jié)點(diǎn)與已知水頭的鄰接矩陣；Hc 管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量；Hf 已知節(jié)點(diǎn)水頭矢量。
而且，
是式（4）在管網(wǎng)中的矩陣表達(dá)。
以圖1的管網(wǎng)為例有：
而且，
采用計(jì)算機(jī)程序自動(dòng)搜索分析，容易得到以上矩陣。同時(shí)，用矩陣表示的
是：
=
（10）
矩陣運(yùn)算后可表示成以下方程：
（11）
其中H6是已知水塔的水頭。式（10）表明矩陣方法可以表示節(jié)點(diǎn)能量守恒定律。
以上分析雖然是針對(duì)圖1的實(shí)例進(jìn)行，但沒(méi)有設(shè)立管網(wǎng)聯(lián)接及出流的特殊性條件，故所介紹的分析結(jié)果具有一般性。顯然，這種結(jié)果也可以通過(guò)采用“圖論法”和有限元法進(jìn)行分析得到。
3. 方程的解法
矩陣方程（8）是復(fù)雜管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)此模型的求解可以得到管網(wǎng)的水力學(xué)參數(shù)。如將Y(q)看作一個(gè)常數(shù)，該方程就是一個(gè)線性方程組，可將此線性方程組稱為非線性方程（8）的伴隨方程。注意到管網(wǎng)在第t-1時(shí)的流量為q(t-1)，在第t-1次計(jì)算時(shí)Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管網(wǎng)在第t時(shí)的流量。
實(shí)際上是在迭代運(yùn)算中令：
Y(q(t)) = Y(q(t-1))
因大多數(shù)管網(wǎng)它們的管段內(nèi)流速v都在1~3 m/s之內(nèi)。經(jīng)驗(yàn)證明這樣種情況下，令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時(shí)，矩陣方程（8）實(shí)際迭代時(shí)t為：
式中：Ai為i管段的斷面面積；n為管網(wǎng)的管段數(shù)。
當(dāng)在te時(shí)，迭代中，當(dāng)
時(shí)，認(rèn)為方程解為：
i=1,…,n ；k=1,…,m；m為管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。
其中，
為一相對(duì)小的數(shù)，工程上，一般取
就行了。的值越小計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間就越長(zhǎng)。
由方程（8）變形得到方程：
（12）
式中，Hc 管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量，是待求的未知量；Hf 為已知節(jié)點(diǎn)水頭矢量。q=是管段內(nèi)的流量矢量，是待求的未知量；d是管網(wǎng)的出水量矢量，是已知量。
用線性方程組的解法容易經(jīng)3~4次迭代得到方程（12）的解。
4. 結(jié)論
復(fù)雜管網(wǎng)可以用矩陣的形式表示，并可用節(jié)點(diǎn)法建立其矩陣方程。其方程為：
（12）
此方程是一個(gè)非線性方程，解此方程可用迭代法進(jìn)行計(jì)算。迭代的初始參數(shù)及計(jì)算方法如下：
當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為方程解為： i=1,…,n ；k=1,…,m；n為管網(wǎng)的管段數(shù)，m為管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。
[1] 李鳴，管網(wǎng)基本定理及其數(shù)學(xué)模型[J]，節(jié)水灌溉，2001 (1)8-11
[2] Haestad Methods, Thomas M. Walski, Advanced Water Distribution Modeling and Management [M], Haestad Press, 2003
[3] 石 繼，張豐周，魏永曜，圖論法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究 [J]，水利學(xué)報(bào)，1999 (2)
[4] 康躍虎，微灌系統(tǒng)水力學(xué)解析和設(shè)計(jì)[C]，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1999.4
［作者簡(jiǎn)介］李鳴，男，48 歲，高級(jí)工程師。感謝長(zhǎng)江水利委員會(huì)劉東同志對(duì)本文早期研究工作的支持。
