1 引言
我國現(xiàn)行規(guī)范是利用地基容許承載力進行基礎及地基設計,所采用的容許承載力是利用極限承載力除以定值安全系數(shù)而得到的,即所謂的定值安全系數(shù)法。在計算極限承載力時使用了傳統(tǒng)的定值分析模式,沒有考慮各個參數(shù)的變異性對極限承載力的影響。即使在強度計算時取用的安全系數(shù)來考慮包括參數(shù)變異在內的所有不利因素的影響又缺乏一定的科學依據(jù),本質上仍屬于定值分析的范疇。事實上,由于各種復雜因素的影響,巖土參數(shù)的不確定性不可避免,所以用考慮影響地基穩(wěn)定的各隨機變量的變異性,并用嚴格的概率來度量安全度,用可靠度理論對地基穩(wěn)定進行分析更符合實際。
概率分析是針對隨機事件發(fā)生的可能性而言,但事件本身的含義明確。當事件本身的含義具有模糊性,對事件發(fā)生與否可能性的描述則用模糊概率的分析方法。就地基的穩(wěn)定性而言,失穩(wěn)和穩(wěn)定本身就是帶有一定模糊性的事件,在二者之間存在一個模糊過渡區(qū)。本文視地基失穩(wěn)為一模糊概率事件,利用概率理論與模糊數(shù)學建立分析地基失穩(wěn)的方法及其相應的隸屬函數(shù),并對安全系數(shù)與模糊可靠度之間的關系作進一步的分析。
2 模糊概率的基本概念及其模糊可靠度
工程問題的數(shù)學模型通�？煞譃槿N:背景對象具有確定性或固定性,且對象又具有必然關系的確定性模型；背景對象具有或然性或隨機性的隨機性模型；背景對象及其關系均具有模糊性的模糊數(shù)學模型。工程中傳統(tǒng)的定值分析屬于確定性模型,它以定值參數(shù)及定值安全系數(shù)來衡量工程的安全度。工程中目前使用較多的概率分析法是第二類隨機數(shù)學模型,它以可靠度作為工程安全的評價標準,從而比定值安全系數(shù)法顯得更加合理。如果既考慮事件的隨機性,又考慮事件的模糊性,則對事件的描述更加科學,此時的評價標準就是模糊失效概率或模糊可靠度。
由模糊數(shù)學理論可知,如果模糊事件A在區(qū)域X上的隸屬函數(shù)為u,則該模糊事件的概率為:
P(A)＝∫Xua（x）．f（x）dx
�。�1）
式中 f為X的概率密度函數(shù)若區(qū)域X是離散區(qū)域,則
P(A)＝1ua（x）P（xi） （2）
則模糊可靠度為:
β＝Φ－1（1－Pf） �。�3）
3 地基失穩(wěn)的模糊性及其隸屬函數(shù)的確定
進行地基模糊可靠度分析前,首先要建立地基穩(wěn)定的極限狀態(tài)方程。以綜合隨機變量表示的極限狀態(tài)方程為:
g＝fu－s �。�4）
式中 fu為地基的極限承載力,s為作用于基礎底面的點荷載效應,等于恒載與活載之和,即為:
s＝sG＋sq �。�5）
地基極限承載力的計算公式較多,一般的表達式為:
fu＝0．5γbbNr＋cNc＋γdhNq （6）
式中 Nr，Nc，Nq為承載力系數(shù),按Vesic公式有:
Nq＝tg2（45°＋）exp（π．tgφ） �。�7）
Nc＝（Nq－1）ctgφ �。�8）
Nr＝2（Nq＋1）tgφ �。�9）
按傳統(tǒng)的非此即彼的思維方法,可知Z＜0,地基失效；Z＞0地基穩(wěn)定。實際上地基失效是一個過程,而不是由一個點決定,是一個模糊事件,用uA表示失效程度。當uA接近0時,失效的可能性小;當uA＝0．5時,處于最模糊狀態(tài),可作為傳統(tǒng)分析的極限平衡狀態(tài);當uA＝1時,失效的可能性大，因此公式(3)中z為隨機變量,其數(shù)字特征值為:
E［z］＝E［fu］－E［s］ （10）
σ［z］＝σ［fu］＋σ［s］－2cov（fu，s） （11）
當u采用降半梯型分布:
�。�12）
根據(jù)前面討論:
E［z］＝0，即E［fu］＝E［s］， uA（Z）＝0．5
考慮極限情況,E［s］＝0時，E［z］＝E［fu］，uA（Z）＝0
故計算得:
�。�13）
4 總安全系數(shù)下地基穩(wěn)定的模糊可靠度計算
總安全系數(shù)下地基承載力的實用設計表達式寫為:
uG＋uQ＝ �。�14）
式中 uG為恒載效應均值,uQ 為活載效應均值,ufu為c，φ均值代入式(6)所計算的結果。
考慮荷載效應比值ρ＝，代入(14)可以確定uG，uQ為:
式(15)、(16)代入(10)得到:
E［Z］＝．ufu �。�17）
按《建筑結構設計統(tǒng)一標準》的規(guī)定,恒載效應的變異系數(shù)為0．07,活載效應的變異系數(shù)取為0.29,所以有: 不考慮fu，s之間的相關性,即cov（fu，s）＝0，則有:
（20）
本文視幾何尺寸B、D，土性指標γ，γ0為常量,僅把抗剪指標c、φ作為隨機正態(tài)變量,簡化假設fu，s也服從正態(tài)分布,則z近似服從正態(tài)分布,分布密度函數(shù)為:
（21）
將(13)、(17)、(20)、(21)代入(1)得到地基失效的模糊概率為:
�。�22）
式中 a＝
λ1＝0．2369268851 λ2＝0．4786286705
λ3＝0．5688888889 λ4＝0．4786286705
λ5＝0．2369268851
t1＝－0．9061798459
t2＝－0．5384693101
t3＝0
t4＝－0．5384693101
t5＝－0．9061798459
地基失效的模糊可靠度為:
β＝Φ－1（1－Pf） �。�23）
5 算例分析及一些規(guī)律性研究
已知某條形基礎,基底寬度3m,埋深2m,各隨機變量均服從正態(tài)分布,其均值和變異系數(shù)如表1所示,取總安全系數(shù)為2,荷載效應比值為0．5，試求地基的模糊可靠度。
表1 隨機變量特征值
隨機
變量 γB γD C φ SG SQ
均值 21．5kN／m3 21．5kN／m3 36．61KPA 0．33 — —
變異
系數(shù) 0．005 0．005 0．118 0．073 0．07 0．29
�。�1）將各基本隨機變量代入公式（22）、（23）可以計算得到:
Pf＝24．16％,此時模糊可靠度β＝0．7。
�。�2）基本隨機變量對模糊可靠度的影響
為了分析不同隨機變量的變異對模糊失效概率的敏感程度,特對某一隨機變量的變異系數(shù)進行了單獨調整,并分析計算結果的變化，見表2。
表2 參數(shù)的變異系數(shù)對模糊失效概率的敏感分析
變異系數(shù) 模糊失效概率Pf
Vc＝0．10～0．40 24．08％～25．47％
Vφ＝0．02～0．22 16．10％～28．37％
Vγ＝0．005～0．02 24．16％～24．16％
從表中結果可知c、φ值的敏感性大,而γ的敏感性小,為簡化計算,γB、γD可視為常量。為了反映c、φ的變異性對模糊失效概率的影響規(guī)律,給出如下兩組Vc～Pf、Vφ～Pf變化關系曲線。
�。�3）安全系數(shù)K與模糊可靠度的關系
表3給出安全系數(shù)與模糊失效概率的對應關系,隨著安全系數(shù)的增大其對應的模糊失效概率相應的增加,這與定值分析的結論是一致的。
表 3
安全系數(shù)K 模糊失效概率
1．5 33．78％
2．0 24．16％
3．0 16．39％
�。�4）荷載效應ρ與模糊可靠度的關系
由表4的結果可知，當荷載效應系數(shù)增大時,活荷載的比重相應增加,而其變異性比恒載大,故模糊失效概率就相應的增加。
表 4
安全系數(shù)K 荷載效應ρ 模糊失效概率
K＝2 0．2 23．63％
0．5 24．16％
1．0 24．56％
6 結論
地基承載力的模糊失效概率值,不僅考慮到了基本隨機變量的隨機變異性,而且考慮到判別模式的模糊性,因此分析計算更為合理,全面。
地基承載力的模糊概率分析中,主要的影響因素來于強度參數(shù)c、φ的變異,而γ的變異性可以不計,計算中按常量考慮。
當安全系數(shù)K一定時,模糊概率與極限狀態(tài)方程中各基本隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)密切相關,而在統(tǒng)計參數(shù)一定的條件下,模糊概率隨K的增大而增大。
