間接平差又稱參數(shù)平差。水平控制網(wǎng)按間接平差時(shí)，通常選取待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值作為未知數(shù)(按方向平差時(shí)，還增加測(cè)站定向角未知數(shù))，平差后直接求得各待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值，故這種以待定點(diǎn)坐標(biāo)作為未知數(shù)的間接平差法也稱為坐標(biāo)平差法。參加平差的量可以是網(wǎng)中的直接觀測(cè)量，例如方向、邊長(zhǎng)等；也可以是直接觀測(cè)量的函數(shù)，例如角度等。由于三角網(wǎng)的水平角一般是采用方向觀測(cè)法觀測(cè)，并由相鄰方向相減而得，故它們是相關(guān)觀測(cè)值。此時(shí)，若不顧及函數(shù)間的相關(guān)性，平差結(jié)果將受到一定的曲解。因此，坐標(biāo)平差法都按方向平差。
間接平差的函數(shù)模型是誤差方程，它是表達(dá)觀測(cè)量與未知數(shù)之間關(guān)系的方程式。一般工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的觀測(cè)對(duì)象主要是方向(或角度)和相鄰點(diǎn)間的距離(即邊長(zhǎng))因此坐標(biāo)平差時(shí)主要列立各觀測(cè)方向及觀測(cè)邊長(zhǎng)的誤差方程式，再按照間接平差法的原理和步驟，由誤差方程和觀測(cè)值的權(quán)組成未知數(shù)法方程去解算待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值，并進(jìn)行精度評(píng)定。
本章主要研究（測(cè)）方向網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)以及測(cè)邊測(cè)角網(wǎng)的嚴(yán)密坐標(biāo)平差。
水平控制網(wǎng)按坐標(biāo)平差法進(jìn)行平差時(shí)，為降低法方程的階數(shù)以便于解算，定向角未知數(shù)可采用一定的法則予以消掉。由于誤差方程式的組成簡(jiǎn)單且有規(guī)律，便于由程序?qū)崿F(xiàn)全部計(jì)算，因此，在近代測(cè)量平差實(shí)踐中，控制網(wǎng)按間接平差法得到了廣泛的應(yīng)用。平面控制網(wǎng)按坐標(biāo)平差時(shí)，網(wǎng)中每一觀測(cè)值都應(yīng)列立一個(gè)誤差方程式。
為便于計(jì)算，通�？偸菍⒂^測(cè)值改正數(shù)表示為對(duì)應(yīng)待定點(diǎn)坐標(biāo)近似值改正數(shù)的線性式。坐標(biāo)平差的第一步是列組誤差方程式。對(duì)于方向網(wǎng)而言,參與平差的觀測(cè)值是未定向的方向，選定的未知數(shù)是待定點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)值。誤差方程式就是方向觀測(cè)值改正數(shù)表達(dá)為待定點(diǎn)縱橫坐標(biāo)值的函數(shù)式，可以通過(guò)坐標(biāo)方位角來(lái)建立方向值與未知數(shù)之間的聯(lián)系。
12.1.1方向誤差方程式的建立和組成
在測(cè)站k上觀測(cè)了
等方向
其方向觀測(cè)值為
它們的改正數(shù)為
為測(cè)站的零方向（起始方向），則任意方向
的坐標(biāo)方位角平差值方程為
（12-1）
式中：
為
方向的平差值，
為
方向的坐標(biāo)方位角，通常稱測(cè)站定向角，
為定向角
的近似值，
為定向角
的改正數(shù)，是個(gè)未知參數(shù)，
，
如果令
兩點(diǎn)的近似坐標(biāo)分別為
和
，
其相應(yīng)的改正數(shù)分別為
和
，
則有關(guān)系：
（12-4） 
（12-3）
將上式按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，
坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程：
（12-5）
將（12-5）代入（12-4）然后再代入（12-1）得：
（12-6）
式中，
（12-7）
計(jì)算中，
以㎏為單位，
和
以dm為單位，且換以
（12-6）變?yōu)椋?/p>
（12-8）
式中，
（10-9）
（12-6）和（12-8）式為方向誤差方程式，考慮到邊長(zhǎng)誤差方程式（12-35）式以便于編程常用（12-8）式。一般取第一方向的近似坐標(biāo)方位角為定向角的近似值，即
，又由于第一方向有
，（12-7）式所以
，這樣，
（12-7）1
（12-8）為一般式，
①當(dāng)k為固定點(diǎn)，i為待定點(diǎn)時(shí)，
，則誤差方程式為：
（12-12）
②當(dāng)i為固定點(diǎn)，k為待定點(diǎn)時(shí)，
，則誤差方程式為，
（12-13）
③當(dāng)k,i都為固定點(diǎn)時(shí)，
，
，則誤差方程式為，
（12-14）
④k,i對(duì)向觀測(cè)時(shí)，由于
，所以
，
（12-15）
只有定向角未知數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不同，其它全相同。
12.1.2誤差方程式的改化---史賴伯法則
按方向坐標(biāo)平差時(shí)，方向誤差方程式有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：①是由同一測(cè)站上各觀測(cè)方向所組成的誤差方程式中，有共同的定向角未知數(shù)，且系數(shù)均為-1；②是對(duì)向觀測(cè)的兩個(gè)方向誤差方程式同名未知數(shù)的系數(shù)相同。根據(jù)這兩個(gè)特點(diǎn)，可對(duì)誤差方程式進(jìn)行改化（約化），以減少未知數(shù)（法方程式的階數(shù)同樣得到減少）和誤差方程式的數(shù)目。由于這個(gè)方法是由史賴伯首先提出的，故稱史賴伯法則，史賴伯法則共有三個(gè)法則。
1.消去定向角未知數(shù)法則
測(cè)站i有n個(gè)等權(quán)方向誤差方程式
按定向角未知數(shù)向量
和坐標(biāo)未知數(shù)向量
進(jìn)行分塊，
，權(quán)P=E
顯然
組成法方程式
上式經(jīng)約化而消去定向角未知數(shù)Z后，得約化方程
（A）
史賴伯約化（改化）第一法則采用如下的虛擬誤差式，
（B）
由（B）組成法方程式結(jié)果與（A）式完全相同。展開(kāi)（B）2式
權(quán) 
根據(jù)此法則，利用每測(cè)站加一個(gè)虛擬和方程式來(lái)消除該站的定向角未知數(shù)。
2.系數(shù)相同的誤差方程式合并法則
設(shè)有n個(gè)未知數(shù)系數(shù)完全相同，但常數(shù)項(xiàng)和權(quán)不同的誤差方程式，
權(quán) 
（12-26）
這n個(gè)誤差方程式可用下面一個(gè)誤差方程式代替，
權(quán) 
（12-27）
3. 誤差方程式權(quán)的變換法則
設(shè)誤差方程式，
權(quán) P
可利用一個(gè)誤差方程式代替，
權(quán) 
當(dāng)
時(shí)，則
權(quán)1
以上三式是等價(jià)的。
史賴伯法則，電算時(shí)一般只用到第一法則，手算時(shí)三個(gè)法則都可能用到。應(yīng)用史賴伯法則時(shí)尚須強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)，P172。
12.1.3三角網(wǎng)坐標(biāo)平差的精度評(píng)定
1單位權(quán)中誤差
（12-28）
n觀測(cè)方向總數(shù)；
待定點(diǎn)個(gè)數(shù)；
設(shè)站（作方向觀測(cè)）點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
一般平差時(shí)設(shè)各觀測(cè)方向的權(quán)為1，則
就是方向觀測(cè)值的中誤差。
2.點(diǎn)位誤差
坐標(biāo)平差時(shí)協(xié)因數(shù)陣
中對(duì)角線上元素
為第i個(gè)未知數(shù)的權(quán)倒數(shù),
(12-29)
還可求出待定點(diǎn)的誤差橢圓元素和兩待定點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓元素。
3.坐標(biāo)未知數(shù)函數(shù)的精度
①邊長(zhǎng)
的權(quán)函數(shù)式，
（12-30）
與邊長(zhǎng)的誤差方程式（12-35）的差別只是沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。
②坐標(biāo)方位角
的權(quán)函數(shù)式，
（12-31）
與方向誤差方程式的差別只是沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。
設(shè)每個(gè)權(quán)函數(shù)式的矩陣形式，
則它的協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)），
（12-33）
（12-34）式可不用，因用相對(duì)誤差橢圓元素可求出任意兩待定點(diǎn)之間的點(diǎn)位誤差。
